勒让德变换

[TheMatrix]

我学过热力学。现在基本都忘了。但是还记得几个变量互相之间都可以定义导数，而导数又变成了新的物理概念，然后又可以和原有的概念之间定义导数，....，循环了。感觉很乱。当时不知道勒让德变换，要靠强大的tracking能力把它们理清楚。

[OPQ]

https://www.aapt.org/docdirectory/meeti ... poster.pdf

这是一篇小文章，讲的不全面，但胜在精炼，可以帮助复习一下。

[弃婴千枝]

函数的legendre变换，确切地说是对一个凸函数的凸共轭（convex conjugate)，
通过凸共轭联系起来的2个函数在数学上是一种Duality

对一个函数使用legendre变换意味着默认这个函数是凸函数---比如hamiltonian，
或者热力学势，这一点，在任何物理课本上都没有提及，
也从来也没人怀疑过这种变换的正确性，是不是真是这样？我也不知道。
也许这世界真是一个凸函数。

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_conjugate

[TheMatrix]

我学过热力学。现在基本都忘了。但是还记得几个变量互相之间都可以定义导数，而导数又变成了新的物理概念，然后又可以和原有的概念之间定义导数，....，循环了。感觉很乱。当时不知道勒让德变换，要靠强大的tracking能力把它们理清楚。

稍微展开一下，示意一下，看看这里有多复杂：

热力学里面好像就三个变量：P，V，T - 压强，体积，温度。而且都是大写！示意它们各自又很复杂。

每一个都是另外几个的函数，还可以求导：dP/dV, dV/dT, dP/dT, 还可以反过来求：dV/dP, dT/dV, dT/dP。

每个都有名字，变成了新的物理量，比如 A = dP/dV, B=dV/dT, C= dP/dT。

然后A,B,C又可以和P,V,T求导：dP/dA, dV/dC，也可以反过来求：dA/dP, dB/dT。互相还可以求：dA/dB, dC/dA....

然后还可以求偏导：∂P/∂T，∂V/∂P,....而且还有很多种偏导 - 你要说出固定谁先：此 ∂P/∂T 非彼 ∂P/∂T ...

[TheMatrix]

函数的legendre变换，确切地说是对一个凸函数的凸共轭（convex conjugate)，
通过凸共轭联系起来的2个函数在数学上是一种Duality

对一个函数使用legendre变换意味着默认这个函数是凸函数---比如hamiltonian，
或者热力学势，这一点，在任何物理课本上都没有提及，
也从来也没人怀疑过这种变换的正确性，是不是真是这样？我也不知道。
也许这世界真是一个凸函数。

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_conjugate

应该可以研究局部的凸函数。全局是否为凸，条件可以放松一下，把全局空间划分一下。

[verdelite]

函数的legendre变换，确切地说是对一个凸函数的凸共轭（convex conjugate)，
通过凸共轭联系起来的2个函数在数学上是一种Duality

对一个函数使用legendre变换意味着默认这个函数是凸函数---比如hamiltonian，
或者热力学势，这一点，在任何物理课本上都没有提及，
也从来也没人怀疑过这种变换的正确性，是不是真是这样？我也不知道。
也许这世界真是一个凸函数。

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_conjugate

前不久刚讨论过，凹应该也是可以的，
站内帖子：哈密顿力学
2022年也讨论过，
站内帖子：这么多年了，终于把Legendre变换搞明白了。